Skip to navigation | Skip to content

 

Mandala

Du er her: NetSpirit - Emner - M - Mandala - Lav mandalas fra digitale fotos

Mandalaer

Mandalaer til udskrivning

Lav din egen Mandala

Stil spørgsmål om mandaler

Mine data

Profiler

Spørgsmål

Artikler

Adresseliste

Statistik

Besøgende pr. dag
Antal profiler 3828
Online profiler 0
Online gæster 223
Åbne spørgsmål 577
Besvarede spørgsmål 2894

Almanak

Mon, 22. May 2017

Solen i dag

Solopgang:04:50
Solnedgang:21:22

Månen lige nu

Full Moon

Lav dine egne mandalaer

En anden ganske enkel, nem og ligetil måde at komme ind i mandalaens forunderlige univers på, er ved at udskrive en af de over hundrede mandalas som NetSpirit tilbyder til udskrivning og derefter begynde at farvelægge den. Men det er også nemt at lave din helt egen mandala.

I vores beskrivelse af mandala benytter vi meget flotte professionelle illustrationer og fotos. Dette er jo på den ene side meget godt, da det er en æstetisk nydelse. Men på den anden side kan det virke en smule afskrækkende i forhold til selv at lave sin egen mandala. Men det er slet ikke det kunstneriske resultat, der gælder. Du kan jo til en start eventuelt symbolsk brænde din mandala efter du har udformet den, hvis du ikke synes, den skal gemmes ,eller at andre skal se den. Hvis du har lyst til at arbejde med mandala, skal du bare kaste dig ud i det uden at præstere!

I øvrigt kan du undertiden med fordel brænde din mandala tegninger, selv om du synes, de er blevet superflotte. Fx hvis du arbejder med mandala i forbindelse med sorg eller negative følelser af en eller anden slags. I forbindelse med sorgarbejde er det ofte en rigtig god ting at skrive hulter til bulter, eller tegne følelser ned og derefter finde et særligt sted og brænde det af, grave asken ned - få det ud af systemet!




Det er en god ide, når du skal skabe din egen personlige mandala, at sørge for at være alene i et godt stykke tid. Forbered dig mentalt, ved at tænde røgelse. Gerne salvie som renser luften for negative energier – eller sandelwood, som afbalancerer din egen Yin/Yang energi. Du kan med fordel også bruge en duftlampe, med æteriske olier i, således at det rum du vælger, bliver renset, og fyldt med ny energi og samtidig en dejlig duft.

Start med at lægge dine redskaber frem. Du skal bruge en tallerken, en gryde eller hvad som helst du vælger, bare det er en cirkelform, en god tusch, blyanter, farver, papir og karton, eksempelvis fra bagsiden af en blok, eller lign.




Det kan være en god ide at lave en lille meditation inden du går i gang. Dette for at rette fokus på dit projekt og få ro i dit indre. Her er et forslag til en enkel meditationsøvelse.

Sæt dig i din bedste stilling, så du sidder behageligt. Det er bedst, hvis du har fysisk kontakt med dine fødder, så måske er skrædderstilling eller lotusstilling godt for dig. Ret ryggen, og mærk din rygsøjle strække sig ud, løft dit hoved og forsøg at gøre halsen lang. Læg en hånd på din mave, og træk vejret helt derned, så din hånd skubbes udad. Men lad ellers dit åndedræt flyde af sig selv. Luk øjnene – hvis dine øjenlåg sitrer, så lad dem bare gøre det – det er naturligt, at kroppen reagerer modsat dine tanker og hensigter. Men lad være at fokusere på det. Forsøg at få kontakt til dit kronechakra, du kan f.eks. trække ganske blidt i et hår på toppen af din isse.

Forestil dig, at violet lys/energi strømmer ned igennem din krop, mens du i tankerne gennemgår din krop fra fødderne og op ad benene, videre op til bækkenet, bagdelen og overkroppen. Ud gennem armene og send nu energi til dine hænder, som om et øjeblik skal hjælpe dig med at udtrykke din Mandala. Forsæt med at koncentre dine tanker op til skuldrene og videre op gennem ansigtet. Når du har gjort dette, så sid et øjeblik i stilhed. Rejs dig, når du føler dig klar og ryst din krop, dine ben og dine hænder. Ryst dit hoved. Dette er for at få energien til at løbe frit, og blodomløbet i gang. Spil eventuelt noget musik, du finder inspirerende og dejlig - og så er det tid til at lave din egen Mandala.





Find først ud af, hvilken stemning du er i. Er du stille og blid og til små armbevægelser, er det en lille mandala tegning, du skal lave. Hvis du har lyst til store armbevægelser, og er fyldt med gå-på-mod og energi, er det suppegryden, du skal bruge som skabelon! Start med at tegne omridset – cirklen – Mandalaens ydre cirkel.

Derefter finder du centrum, som du markerer – og herefter er det om at bruge din intuition. Tegn præcis, hvad du føler, tænker og mærker. Lad farverne lege og spille op til hinanden, følg din intuition og tænk hele tiden, at det ikke er det færdige resultat, der er det vigtige, det vigtigste er processen, arbejdet, legen og dine følelser undervejs.

Et forslag til at vælge dine indre farver er, at du lukker øjnene og stille, ja næsten meditativt mærker efter, hvilken farver du fornemmer ude i din højre hånd. Derefter vender du din opmærksomhed imod venstre hånd og åbner op for, hvilken farver, der toner frem der. Nu har du dine 2 startfarver, som du så leger med inde i cirklen - måske mens du stadig hører noget inspirerende musik? Lad farverne ligesom male og tage form, som de selv har lyst til og stop så op - og se, hvilke former, dramaer og symboler, som du kan ane og se i det, der da er groet frem. Lad være med at fortolke for meget. Se og føl blot, hvad du ser i din cirkel.

Gå nu videre med dit arbejde; at udtrykke "dit indre", lad farverne spille op til hinanden, tegn forskellige symboler, tegn præcis, hvad du mærker og føler, og hold fast i din intuition. Husk at det ikke er det færdige resultat, der er det primære - det er processen, arbejdet, legen du er i gang med, som giver dig de fleste resultater. Brug gerne lang tid. Du kan vælge at dreje Mandalaen og se den fra nye vinkler – for derefter at tilføje nye symboler, som du ser for dit indre blik, symboler fra dit følelsesliv eller symboler du husker fra drømme, drømmerejser eller andet. Det er kun fantasien der sætter grænser.

Det er først, når du mærker, at din Mandala er færdig, at den er det! Så rejs dig igen op, og betragt den fra alle sider. Lad den tale til dig, mærk efter inde i dig selv, om du kan føle fryd, sejr, stolthed, glæde - eller om du får følelser op, som kunne være sorg, vrede, forvirring, formålsløshed, irritation, ligegyldighed... En rigtig god ting at gøre: på bagsiden af Mandalategningen, noter disse, dine allerførste følelser umiddelbart efter du har skabt din egen Mandalategning. Sæt også gerne dato på. Alt efter, hvad du mærker du lyst til, kan du vælge at hænge tegningen op eller lægge den væk. Måske bliver du så grebet af det, at du får lyst til at lave en mere – i så fald så følg din lyst og intuition, tegn og mal, føl og fornem, vær i dig selv og følg din indre stemme.




Måske du undre dig over illustrationerne ovenfor og tænker at det er da ikke en mandala, men blot en simpel tegning omkranset af en cirkel! Og det har du sådan set ganske ret i. Mandalaer kan også laves på denne måde! Du skal anskue Mandalas mere end som blot en illustration med faste regler - den skal være rund, der skal være symmetri, der skal gerne optræde de fire verdenshjørner og de fem elementer - og lignede andre retningslinjer for hvad Mandalas er for en størrelse. For hovedsagelig så er det vigtige med Mandalas hvad de skal bruges til!

Mandala og drømmetydning

Der er mange måder du kan lave dine egne Mandalas. I forbindelse med drømmetydning benyttes det at tegne eller male en Mandala ofte som hjælp til at fortolke drømmens budskaber. Vil du lave din egen Mandala ud fra en drøm du har haft så foregår det på følgende måde:

1) Start med at udvælge et energicentrum fra din drøm, f.eks. en scene eller et af symbolerne som du synes er det væsentligste og det mest fremhævende i din drøm. Selve udvælgelsen er normalt ikke så vanskelig; hvis du scanner drømmen igennem som en film, eller en tekst, vil du ret hurtigt opleve, hvor energicentret, essensen ligger.

2) Derefter finder du blankt papir og en sort tuschpen, og farver frem. Du kan bruge en dyb tallerken til at tegne cirklen (Mandalaen) efter på det blanke ark – så har du grundformen. Det energicenter du har fundet frem, eller det dominerende symbol, tegnes nu ind i cirklen og farvelægges. Den kunstneriske kvalitet af dette billede er helt uden betydning – det må gerne ligne en kluntet barnetegning – hovedsagen er, at drømmeren oplever billedet som brugbart.

3) Når du er færdig med dit billede, lægger du et stykke bagepapir eller pergamentpapir, over Mandalaen og tegner de betydningsfulde grundrids, men uden detaljer og farver. Derpå lægges mandala tegningen væk, og du skal nu arbejde videre med kopien.

4) Cirkelformen bevirker, at der ikke på forhånd er bestemt nogen orientering i billedet, og du kan dreje det, indtil du synes det vender rigtigt. Derefter optegner du grundridsene i det billede, du nu oplever er fremkommet. Lad være at tænke så meget – bare gør det! For det er vigtigt at du ikke sorterer ud fra et rationelt synspunkt, men lader fantasien få frit spillerum. Din fantasi vil på denne måde fremkalde et tilgængeligt billede af drømmens essens.

Du vil måske blive overrasket over at se forvandlingen fra den første tegning, når du har tegnet de store rids op, og tegningen har antaget sin ”egen form”. I virkeligheden er det både din fantasi og din underbevidste del af dit jeg, der taler gennem tegningen. Du kan også vælge at tegne hele drømmeforløbet inde i mandalaen, men det kan komplicere metoden noget, idet en af fordelene ved kun at tegne essensen er, at du kan få et enkelt og meget klart budskab ud af drømmen. Det kræver lidt øvelse – men til gengæld får du nogle helt fantastiske budskaber igennem, som du måske ellers skulle bruge en masse tid på at analysere med din rationelle tankegang.

----------------------------------

At arbejde med sine drømme på denne måde har de fordele, at man allerede under processen begynder at integrere drømmens indhold, og at man ofte får en følelsesmæssig oplevelse af symbolernes betydning. Kombineret med analyse af drømmens komponenter og symboler, kan du således få en detaljeret og nuanceret indsigt id et viste aspekt, idet billederne kan rumme facetter og nuancer, det kan være vanskeligt at formulere sprogligt. Den følelsesmæssige oplevelse og indsigt er et godt grundlag, en stærk motivationskraft, for det arbejde der skal gøres, når hverdagsmønstrene skal bearbejdes og muligvis ændres - Lad din fantasi tale og dine hænder forme.




Sådan mediterer du på din mandala

Når du har færdiggjort din Mandalategning, farvelagt den og virkelig synes du er færdig, kan du med stor fordel meditere på den, for at opfange hvilke signaler og symboler der ligger i den til dig. Det vil også være muligt, med lidt træning, via meditationen at tyde din underbevidstheds ”tale” til dig. Her er et forslag til, hvordan du kan gøre.

Find et sted i dit hjem, hvor du føler dig tryg og godt tilpas. Et sted, hvor der normalt ikke foregår for meget. Hvis du ikke har så meget plads, men f.eks. skal bruge stuen, så sørg for at der er godt udluftet, og at energierne i stuen er renset for eventuelle dårlige energier. Dette kan du gøre ved at bruge krystaller og sten, eller du kan tænde noget tørret salvie i en skål, og vifte røgen rundt med et blad, en avis eller en fjer. Du kan også tænde en røgelsespind, hvis duft du godt kan lide. Særligt velegnet til meditation er: Ylang Ylang, Sandal Wood og Aloes Wood, men det vigtigste er, at det er en duft, du selv holder af.

Klæb eventuelt din mandala tegning op på et stykke karton, så den bliver stivet af, og du kan have den foran dig i oprejst position. Sluk for tv, pc og telefon. Sørg for at du har en tid, hvor du ikke bliver forstyrret. Sæt dig et behageligt sted. Gerne i ”lotusstilling” eller i ”skrædderstilling”. Sørg for at din ryg er ret, du kan eventuelt understøtte dette, ved at anbringe en pude under det bagerste af din ende. Dine hænder lægger du på knæene, enten med håndfladerne opad eller nedad, alt efter hvad der føles naturligt for dig.




Luk øjnene, og træk vejret ind gennem næsen med lukket mund, hold vejret i lungerne i fem sekunder – og pust derefter ud igennem munden. Gentag dette 4 gange. Dermed aktiverer du den energi vi kander chi – livsenergien, og kundalinikraften, der ligger ved sidste ryghvirvel. Lad nu dit åndedræt finde sit eget leje – roligt og naturligt. Eventuelle tanker lader du blot passere uden at ofre dem opmærksomhed.

Forestil/visualiser at der er en beskyttende hinde der følger din krops yderside. Ret dit fokus på din isse, og forestil/visualiser at der strømmer klart, hvidt lys fra din isse og ned langs skuldrene og ud i dine arme, tilbage til rygraden – og forgrener sig ud gennem dine ben og ned til dine fødder. Begynd med – i dit indre - at kontakte din skytsengel, din hjælper eller din guide. Når du føler dig parat, åbner du øjnene og ser på din tegning. Forsøg at lave et ”tunnelsyn” – dvs. at du lukker alt andet omkring dig ude – og kun fokuserer på Mandalaen. Læg mærke til de enkelte farver. En efter en, og mærk hvad denne farve betyder for dig, - alle farver har en vibration, der vil ”tale” til dig, så lyt med åbent sind. Se på farverne adskilt, og lyt til dem hver især, og vær opmærksom på:

  • Hvad fornemmer du i følelserne?
  • Hvad mærker du i kroppen?
  • Hvilke impulser får du i tankerne?

Brug gerne lang tid på dette, men sørg hele tiden for, at dit åndedræt er roligt, og at du sidder behageligt. Hvis ikke, så flyt rundt på dig selv og find en stilling, hvor du stadig har ret ryg, men sidder behageligt. Det kan være, at du skal have fødderne i gulvet. Vær opmærksom på, om der er en farve, der går igen, eller der er overvægt af en speciel farve i hele Mandalaen, som du nu retter din opmærksomhed mod. Hvis du har særlig megen vægt på én farve, lukker du nu øjnene, og går ind i farven – forestil dig at du ER farven, og spørg denne farve hvad den vil fortælle dig. Sådan kan du gøre med alle farver, der er repræsenteret i din Mandala tegning.

Tag nu en pause, hvor du igen lukker øjnene og laver ovenstående åndedrætsøvelse igen, for at rense energien i dig. Når du er klar åbner du igen øjnene, og denne gang skal du se SYMBOLERNE i din mandala. Hvad forestiller de? Er de placeret i et specielt mønster? Er der symboler der går igen? Forsøg at kontakte disse symboler, og lad dem tale til dig – lyt med din intuition og se med dine øjne. Gå ind i de enkelte symboler, forestil dig at du rent faktisk sidder inde i en af dem, omgivet af den farve du har lagt der. Og mærk din følelse i kroppen og din tanke.

  • Føles det godt/trygt?
  • Føler du dig indespærret?
  • Føler du dig energifyldt?

Bemærk dine tanker: Er de positive? Er de vrede? Tænker du på nogle mennesker/dyr? Tal med dine tanker og spørg dem, hvad de vil sige til dig. En god ide er at skrive dine oplevelser ned i en lille notesbog – f.eks.: Hvad har farverne sagt dig, hvad har symbolerne/figurerne sagt dig, hvilke fornemmelser har du haft, hvilke tanker har du haft og hvilke følelser har du haft. Du skal ikke fokusere på formuleringen, bare skriv, hvad der falder dig ind – mærk din Mandala tegning med et bogstav eller et tal, og noter bogstavet eller tallet i din bog.



Lav mandalaer fra digitale fotos


Her får du en trin-for-trin anvisning til hvorledes du kan lave mandalas ud fra digitale fotos. Du skal bruge en computer hvorpå der findes programmet Adobe Photoshop.

Trin 1

Find et af dine digitale billeder. Det kan være hvad som helst, men det er en fordel hvis det har nogle flotte farver. Gem det billede du vælger på din harddisk.


Trin 2

Gem dernæst en af nedenstående templates på din harddisk. Klik på de enkelte billeder og de fremkommer i stor størrelse. Det er denne størrelse du skal benytte. Den giver en mandala på 370 pixels i diameter, hvilket er velegenet til brug på web sider. I vores gennemgående eksempel benytter vi template nummer tre, men du kan benytte lige præcis den, du har lyst til.

Template 1 Template 2 Template 3 Template 4 Template 5



Trin 3

Åben adope photoshop og indstil først farveindstillingen fra at være Indexed til RGB (illustration 3a). Dobbeltklik herefter på tryllestaven (illustration 3b). Den hedder magic wand , hvis du har en engelsk udgave og når du dobbeltklikker på den fremkommer indstillingerne for den. Hvis de ikke allerde er det, skal de sættes til: tolerance: 0 anti-aliased: ikke afkrydset, use all Layers: ikke afkrydset, Contiguous: afkrydset. Hvad det nærmere betyder er ikke særlig vigtig. Det kan du læse meget mere om i photoshops hjælpefiler hvis du har lyst.

For nu skal vi til at lave en mandala! Åben den template som du valgte oppe i trin 2. Som nævnt benytter vi til denne vejledning template nr. 3 så den åbner vi. Når den er åben så klik med tryllestaven på det øverste felt således at det bliver markeret (illustration 3c).


0000_ADOPE0.jpg (38979 bytes)
Illustration 3a Illustration 3b Illustration 3c



Trin 4

Åben nu dit digitale billede. Tag enten og kopiere hele dette billede eller en del af det. Delen skal blot være stor nok til at kunne dækkke den aflange trekant du har markeret i din template. Kopiere eventuelt den del af billedet hvor der er de flotteste farver. Vi vælger at kopiere hele billedet af haven ovenfor. Du har nu to billeder åbne. Du har dit digitale billede og du har din template. Gå tilbage til din template og vælg "Edit", samt "Paste into" (illustration 4a). Nu er du godt i gang - i illustration 4c kan du se hvordan vi fik det til at se ud. Efter vi indsatte billedet markerede vi med tryllestaven den næste aflange trekant og er således allerede klar til næste trin.


0000_ADOPE2.jpg (22539 bytes)
Illustration 4a Illustration 4b Illustration 4c



Trin 5

Det er da legende nemt det her! Nu skal du udfylde den næste aflange trekant. Da du ovenfor indsatte det udklippede lavede du hermed automatisk et såkaldt lag mere i dit billede. Du du lige har indsat et lag er dette lag markeret. Hvis du således ikke med tryllestaven kan markere den næste treekant er dette blot fordi at du befinder dig i det forkerte lag. Flyt derfor først denne markering ned til Layer 1 - altså der hvor din template ligger, det nederste lag før du med tryllestaven klikker på den næste trekant (illustration 5a).

Illustration 5a


Vælg nu "Edit", samt "Paste into" (illustration 5b). Herved kopiere du samme billede ind i trekant nr. 2 som du lige har kopieret ind i trekant nr.1. Du skal nu gøre således at de to billeder er spejlbilleder af hinanden. Dette gør du ved først at vælge "Transform" samt "Flip horisontalt" (illustration 5c). Og dernæst skal du rotere billedet - 45° ved at vælge "Free Transform" (illustration 5c).

Billedet er nu et spejlbillede af det billede som er i trekant nr.1. Du markerer nu dit bevægelsesværktøj (illustration 5e) og kan herefter benytte dine piletaster på at flytte rundt på billedet indtil du synes det står symmetrisk i forhold til dit første billede. Hvis du har benyttet et meget stort billede kan det i starten være lidt vanskeligt at finde det sted hvor de to billeder bliver symmetriske. Men brug lidt tid på at flytte rundt på billedet med dine piletaster og pludselig er synkroniseringen der. Du kan i illustration 5f se hvordan vi fik det til at se ud. Efter vi indsatte billedet markerede vi med tryllestaven den næste aflange trekant og er således allerede klar til næste trin.

Illustration 5b & 5c Illustration 5e Illustration 5f



Trin 6

Hvis du er fulgt med hertil og det er lykkedes for dig er du faktisk næsten færdig, for resten er hovedsagelig en gentagelse af det du lige har gjort. Vælg "Paste into" for at kopiere dit billede ind i trekant nr. 3. Rotere derefter billedet -45° ved at vælge Free Transform (illustration 6a). Når du har roteret billedet på denne måde er det nu et spejlbillede af billede i trekant nr.2.

Hernæst skal du sikkert benytte bevægelsesværktøjet, altså flytte dit billede, indtil det står symmetrisk. Du markerer derfor dit bevægelsesværktøj (illustration 6b) og kan herefter benytte dine piletaster til at flytte rundt på billedet indtil du synes det står symmetrisk. Du kan i illustration 6c se hvordan vi fik det til at se ud. Efter vi indsatte billedet markerede vi med tryllestaven den sidste aflange trekant og er således allerede klar til næste trin.

0000_ADOPE4.jpg (46758 bytes)

0-magic-wand.jpg (10840 bytes)

Illustration 6a Illustration 6b Illustration 6c



Trin 7

Du er næste færdig med din første mandala ud fra et elektronisk billede. Lidt endnu, så er den der! Vælg "Paste into" for at kopiere dit billede ind i trekant nr. 4. Vælg derefter "Flip horisontalt" og rotere dernæst billedet -90° ved at vælge "Free Transform" (illustration 6a ovenfor). Du markerer nu dit bevægelsesværktøj (illustration 5b ovenfor) og kan herefter igen benytte dine piletaster til at flytte rundt på billedet indtil du synes det står symmetrisk i forhold til billedet i trekant nr. 3. Du kan i illustration 7a se hvordan vi fik det til at se ud.

Illustration 7a



Trin 8

Nu har du lavet en fjerdel af din mandala. Og resten du skal gøre er meget nemt. Først skal du have kopieret dine fire lag sammen til et lag. Dette gør du ved at vælge "Layer" eller "Lag" som det hedder på dansk og her vælge "Merge Visible", hvilket blot betyder at du lægger de synelige lag sammen til ét lag. Du kan se ændringen ved at dine lag i paletten "Layers" ændre sig fra fire lag til ét lag (Illustration 8a & 8b).


Illustration 8a Illustration 8b



Trin 9

Denne skal du nu kopiere således at du først får halvdelen af din mandala og den kopiere du igen og får således hele mandalaen. Dette gør du ved ved:
  1. Du har dit lag 1 markeret - se eventuelt illustration 8c - og tager enten den nemme genvej ved at højreltklikke på laget og vælge "Duplicate Layer" - eller ved at gå ind menupunktet "Layer" øverst i Adope Photoshop og her vælge "Duplicate Layer".

  2. Du går dernæst ind i menupunktet "Edit" og vælger her "Transform" og herunder "Flip Horizontal" - se evt. illustration 6a.

  3. Markere dit bevægelsesværktøj - se evt. illustration 6e - og flyt den nye fjerdel af din mandala således at den sammen med den oprindelige fjerdel udgør halvdelen af din mandala. - Se evt. illustration 9a.

  4. Kopieret dine to lag sammen til et lag. Dette gør du ved at vælge "Layer" eller "Lag" som det hedder på dansk og her vælge "Merge Visible", hvilket blot betyder at du lægger de synelige lag sammen til ét lag - se evt. illustration 8a - du kan se ændringen ved at dine lag i paletten "Layers" ændre sig fra fire lag (Se evt. Illustration 8b) til ét lag (Se evt. Illustration 8c).

  5. Gentag nu trin 1-3, altså først kopiere laget, dernæst rotere det - denne gang horisontalt - og endelig markere dit bevægelsesværktøj - se evt. illustration 6e - og flyt den nye halvdel af din mandala således at den sammen med den oprindelige halvdel udgør hele din mandala - tillykkke du er i mål! - Du kan i illustration 9b se hvordan vi fik det til at se ud.





Og så er det ellers i gang!

Og det var det - du er nu i stand til selv at lave mandalas ud fra digitale fotos. Det er nemt og sjovt. Og så er der jo lige den her finesse at hvis man laver mandalaen ud fra eksempelvis et billede af sin kæreste eller en som man har stor kærlighed til - ja så kommer den færdige mandala jo også til at indeholde denne energi. En ret spidsfindig måde at fremstille et portræt på! Du kan herunder se to andre eksempler på mandala som vi har lavet ud fra digitale fotos.



Fraktaler

Og mens vi nu er i det mere tekniske, matematiske hjørne, så skal de sjove og spændende fraktaler da lige have et ord med på vejen. At lege med fraktaler kan være særdeles meditativt og undertiden kan der opstå ganske mageløse smukke billeder når man leger med fraktaler. Men hvad er fraktaler - og hvad har de med Mandalas at gøre?

Baggrunden for fraktaler er at i 1979 sad den franske matematiker Benoit Mandelbrot i kælderen i Science Centeret på Harvard Universitet med en ny Vax supermini computer. Som en ubetalt programmør havde lærerassistenten Peter Moldave tilbudt sin assistance til Mandelbrots projekt, der gik ud på at studere den tilsyneladende simple funktion: f(x) = x2 + c, hvor x og c er komplekse tal. Hertil skulle bruges computere. Det tørre computerarbejde gik i gang, og tallene manifesterede sig som billeder på computerskærmen. Pludseligt viste der sig en geometrisk figur på skærmen.




Dette billede havde forskerne forventet - teorien havde forudsagt det. Mere forundrende var en række af mindre "klatter" væk fra hovedbilledet. Ved nærmere undersøgelser så det ud som om der var tale om mindre versioner af den bille-lignende figur. Det var som om billedet reproducerede sig selv på lavere niveau! Ved at foretage mere præcise beregninger på computeren opnåedes bedre billeder, der viste flere detaljer, indtil billederne efterhånden begyndte at se mere og mere komplicerede ud. Dr. Mandelbrot var i tvivl om, om de mystiske figurer på skærmen skyldtes det forældede grafiske udstyr i kælderen, eller der her lå en helt ny og enestående matematik gemt.

For at udelukke det første afprøvede Mandelbrot programmet på en IBM mainframe computer i hans hjembase i Yorktown Heights i New York. Her i det berømmede IBM Thomas J. Watson Research Center havde Mandelbrot adgang til en imponerende computerkapacitet. På de mere avancerede computere kunne man igen se de komplicerede billeder på skærmen, blot var billederne i en bedre kvalitet. Samtidigt afsløredes et underliggende mønster. Mandelbrot og Moldave fandt ved at zoome ind, at nogle af de små klatter på skærmen, som ved et første syn kun lignede støvpartikler, ikke var identiske versioner af den oprindelige "bille", som de først havde troet. De var i stedet smukke og indviklede mønstre af spiraler og former, der lignede søheste.




For at forstå ovenstående må vi gribe tilbage i tiden. I 1967 havde Mandelbrot i en epokegørende artikel i magasinet Science stillet spørgsmålet: "How long is the Coastline of Britain?". Spørgsmålet kan synes banalt i første omgang: Man kan vel bare finde et kort og måle det op! Mandelbrots pointe var imidlertid, at hvis man tager et kort med mindre målestoksforhold, altså zoomer ind på kystlinjen, så vil det, der på det forrige kort så ud til at være et forholdsvist lige stykker kystlinje, vise sig at at være krogede og bugtede kurver, med en væsentligt større længde end på det forrige kort. Sådan kunne man fortsætte med at zoome ind og få en stadig større kystlinjelængde som følge. Man kan selvfølgelig fremdrage, at denne zoomen ind må stoppe på et tidspunkt, nå man når ned til det atomare niveau eller lignende, men fra et matematisk synspunkt kan forfiningen fortsættes uendeligt. Eftersom følgen af kystlinjelængder vokser uden begrænsning med graden af zoom, følger det, at der ikke er nogen præcis matematisk definition af længden af en kystlinje.

En analog situation til den britiske kystlinje, men dog en matematisk idealiseret én, fås med den såkaldte Koch-kurve, først betragtet af H. von Koch i begyndelsen af 1900-tallet. Kurven fremkommer ved følgende proces: Man starter med et linjestykke, fjerner den midterste tredjedel, og erstatter det med to linjestykker, så der dannes en spids på 60 grader, som vist på den første tegning på figuren nedenfor. Derefter gentager man arbejdet på hver af de fire linjestykker i den nye figur, dvs. erstatter den midterste tredjedel med en spids. Derved fås den anden tegning på figuren nedenfor. Processen gentages igen og igen og figurerne konvergerer efterhånden mod en "grænsefigur", hvis udseende er meget tæt på udseendet af den femte figur nedenfor.

Også denne kurve har uendelig længde. Ordet fraktal bliver relevant idet man tildeler figurer som ovennævnte en dimension, som bliver et ikke helt tal og således bliver en udvidelse af vort sædvanlige dimensionsbegreb. I vor hverdag taler vi ofte om 1, 2 eller tre dimensioner og hvis det går rigtigt hedt til, kan vi fantasere om fire dimensioner, fx i Einsteins relativitetsteori. Men hvad er en ikke-heltallig dimension?- ja det er fraktaler!




Ordet fraktal har med brudflade og fraktur at gøre. Mens geometrien overalt har rette linier eller helt glatte kurver, synes naturen at undgå dette. Vi ser den ujævne bark, den takkede bjergkam, den uregelmæssige kyst linie. Der forekommer faktisk slet ikke helt jævne eller rette linier i naturen. Den eneste undtagelse er en lysstråle. En kystlinie er altid ujævn. Den repræsenterer både “selvsimilaritet” og “skalainvarians”, for på lang afstand ser man det samme ujævne billede som tæt på.Faktisk kan man slet ikke rigtigt definere længden af en kyststrækning, for den afhænger af, hvor lang den anvendte målestok er. Hvis vi har en målestok - altså i bogstaveligste forstand en stok man måler med - på 1 kilometer, når vi til et bestemt resultat, men vi når til et meget højere tal , dersom vi måler med en målestok på kun 1 meter. Selv om kysten er den samme, kan vi nemlig komme ind i alle små vige og krinkelkroge.




Dette, at man ikke kan få “det endelige svar”, men kan blive ved med at gå ned i stadig finere detaljer, er karakteristisk i det hele taget for fraktalgeometrien. Matematikeren Benoit Mandelbrot udfærdigede i 1979 nogle afbildninger med computer af en mængde punkter, der - viser det sig - udgør ét sammenhængende område, den berømte Mandelbrot-mængde. Det fascinerende billede fremkommer på den måde, at man undersøger hvert punkt i xy-planet, svarende til et talpar, f. eks. x = -0.12 og y = 0.74. Dette talpar “testes” for, hvad der vil ske, når det bliver sendt gennem en formel - og det nye talpar, der kommer ud af formlen, sendes ind i formlen igen, og det nye talpar sendes ind i formlen igen…

(x,y) --> FORMEL --> (xny, yny)

Dette er netop selve iterationsprocessen. Hvis det viser sig, at talparret på et tidspunkt går mod uendeligt, vil det ikke tilhøre mængden. Hvis det - uanset hvor mange gange vi sender det igennem - forbliver inden for nogle grænser, tilhører det mængden. Talparret -0.12 0.74 ligger faktisk inden for grænserne. Computer-grafikken er altså skabt ved iteration. Den formel, der skaber netop dette billede er meget enkel. Detaljerigdommen er derfor overraskende.




Grænsedragningen på billedet er ligeså vanskelig som ved en kystlinje: Vi kan blive ved med at forstørre (ændre målestok) og se flere detaljer i randområderne. Det spændende ved disse detaljer er, at de udviser similaritet med helheden. Igen og igen kan man finde små Mandelbrot-figurer. Mandelbrotmængden udviser altså selvsimilaritet. Den udviser også skalainvarians, idet vi ser den samme figur i forskellige skalaer eller målestokke. Vi finder også hele tiden nye former, herunder let fortegnede Mandelbrotfigurer, altså en omtrentlig lighed. Afbildningerne viser en overvældende detaljerigdom. Alle disse detaljer vil først kunne studeres, når computeren har gjort sit arbejde. Der er ikke genveje til at få dem at se. De er altså, hvor utroligt det end lyder, uforudsigelige, selv om enhver detalje kan beregnes.

En anden type fraktale billeder skabes ud fra et andet princip, nemlig rekursion. Rekursionen kan typisk bestå i at gennemføre en “foldningsprocedure” igen og igen, f. eks. af et liniestykke, der så hurtigt vil udvikle sig til en “dragekurve”. Rekursion kan også bestå i at tilføje ekstra linier til en figur i en finere og finere inddeling. Dette er tilfældet i “Det tredelte træ” . Her har vi først tre rette linier, der støder sammen. Disse udgør et grundmotiv, der udmøntes igen og igen. Først udvides der med 6 nye lidt kortere linier, så vi får grundmotivet endnu 3 gange i mindre målestok. Der er i alt 9 rette linier nu. I de næste inddelinger kommer vi op på 27, 81, 243, 729 rette linier.

Og før vi nu begynder at blive alt for matematiske vil vi ende dette her afsnit om hvad fraktaler er for en størrelse med at citere Einstein;

"Når alt kommer til alt er der ikke stor forskel på videnskab, kunst og religion. Efterhånden som jeg nærmere mig den sidste alder ved jeg at der er meget vi mennesker måske aldrig kommer til at forstå og de reelle svar skal man måske mere søge i det spirituelle end i det videnskabelige".

Hvis du har lyst til at vide lidt mere om fraktaler så findes der på nettet mange gratis programmer der kan lave fraktaler. Bare google på fraktaler og lav det selv - eller lignende søgeord og du finder hurtig mange forskellige muligheder.